اکتشافات ریاضی نیاز به شهود و خلاقیت دارند و اکنون کمی از هوش مصنوعی کمک می گیرند

2 دسامبر 2021نوشته جوردی ویلیامسون،

تحقیق در ریاضیات فرآیندی عمیقاً تخیلی و شهودی است. این ممکن است برای کسانی که هنوز در حال  هوای جبر دبیرستان هستند، تعجب آور باشد.

جهان در مقیاس کوانتومی چگونه به نظر می رسد؟ اگر به بزرگی یک کهکشان بودیم کیهان ما چه شکلی می گرفت؟ زندگی در شش یا حتی 60 بعد چگونه خواهد بود؟ اینها مشکلاتی است که ریاضیدانان و فیزیکدانان هر روز با آن دست و پنجه نرم می کنند.

برای یافتن پاسخ‌ها، ریاضی‌دانانی مانند من سعی می‌کنند با ایجاد حدس‌ها (ایده‌هایی در مورد نحوه عملکرد آن الگوها)، الگوهایی را بیابند که اشیاء پیچیده ریاضی را به هم مرتبط می‌کنند، که اگر بتوانیم صحت آن‌ها را ثابت کنیم، به قضایا ارتقا می‌یابند. این فرآیند به همان اندازه که دانش ما به شهود ما متکی است ، می باشد .

در چند سال گذشته، من با کارشناسان شرکت هوش مصنوعی (AI) DeepMind کار کرده‌ام تا بفهمم آیا برنامه‌های آنها می‌تواند به جنبه‌های خلاقانه یا شهودی تحقیقات ریاضی کمک کند. در مقاله جدیدی که در Nature منتشر شده، نشان می‌دهیم که آنها می‌توانند: تکنیک‌های اخیر در هوش مصنوعی برای کشف یک حدس جدید و یک قضیه جدید در دو زمینه به نام‌های “نظریه گره” و “نظریه بازنمایی” ضروری بوده است.

شهود یک ریاضیدان از کجا می آید؟ در هر زمینه ای از تلاش انسان می توان همین سوال را مطرح کرد. چگونه یک استاد بزرگ شطرنج می داند که حریفش در مشکل است؟ یک موج سوار چگونه می داند کجا منتظر موج باشد؟

پاسخ کوتاه این است که ما نمی دانیم. به نظر می رسد یک اتفاق معجزه آسا در مغز انسان رخ می دهد. علاوه بر این، این “چیزی معجزه آسا” هزاران ساعت طول می کشد تا توسعه یابد و به راحتی آموزش داده نمی شود.

در دهه گذشته رایانه‌ها اولین نشانه‌های چیزی شبیه به شهود انسان را نشان می‌دهند. بارزترین نمونه آن در سال 2016، در مسابقه Go بین برنامه AlphaGo DeepMind و لی سدول، یکی از بهترین بازیکنان جهان رخ داد.

AlphaGo 4-1 برنده شد و کارشناسان مشاهده کردند که برخی از حرکات AlphaGo شهودی در سطح انسان را نشان می دهد. یک حرکت خاص (“حرکت 37”) اکنون به عنوان یک کشف جدید در بازی مشهور است.پشت این پیشرفت ها تکنیکی به نام یادگیری عمیق نهفته است. در رایانه یک شبکه عصبی می‌سازد – اساساً یک مدل ریاضی خام از مغز، با نورون‌های به هم پیوسته زیاد.

در ابتدا خروجی شبکه بی فایده است. اما با گذشت زمان (از ساعت ها تا حتی هفته ها یا ماه ها)، شبکه اساساً با تنظیم نرخ شلیک نورون ها آموزش داده می شود.

چنین ایده هایی در دهه 1970 با نتایج غیرقابل قبولی آزمایش شد. با این حال، در حدود سال 2010، زمانی که محققان تعداد نورون های این مدل را به شدت افزایش دادند (از صدها در دهه 1970 به میلیاردها امروزه) انقلابی رخ داد.

برنامه‌های رایانه‌ای سنتی با بسیاری از وظایفی که برای انسان آسان است، دست و پنجه نرم می‌کنند، مانند پردازش زبان طبیعی (خواندن و تفسیر متن)، و تشخیص گفتار و تصویر.

با انقلاب یادگیری عمیق در دهه 2010، رایانه ها شروع به عملکرد خوبی در این وظایف کردند. هوش مصنوعی اساسا بینایی و گفتار را به ماشین ها آورده است.

آموزش شبکه های عصبی به حجم عظیمی از داده ها نیاز دارد. علاوه بر این، مدل های یادگیری عمیق آموزش دیده اغلب به عنوان “جعبه سیاه” عمل می کنند. ما می دانیم که آنها اغلب پاسخ درست را می دهند، اما ما معمولاً نمی دانیم (و نمی توانیم مشخص کنیم) چرا.

مشارکت من با هوش مصنوعی در سال 2018 آغاز شد، زمانی که من به عنوان عضو انجمن سلطنتی انتخاب شدم. در مراسم معارفه در لندن، دمیس حسابیس، مدیر اجرایی DeepMind را ملاقات کردم.

در طول یک استراحت قهوه، یادگیری عمیق و کاربردهای احتمالی در ریاضیات را مورد بحث قرار دادیم. آیا یادگیری ماشینی می تواند منجر به اکتشافاتی در ریاضیات شود، مانند آنچه در Go انجام شد؟

این گفتگوی تصادفی منجر به همکاری من با تیم DeepMind شد.

ریاضیدانانی مانند من اغلب از رایانه برای بررسی یا انجام محاسبات طولانی استفاده می کنند. با این حال، رایانه‌ها معمولاً نمی‌توانند به من کمک کنند تا شهودی ایجاد کنم یا خط حمله احتمالی را پیشنهاد کنم. بنابراین از خود پرسیدیم: آیا یادگیری عمیق می تواند به ریاضیدانان در ایجاد شهود کمک کند؟

با تیم DeepMind، ما مدل هایی را برای پیش بینی کمیت های خاصی به نام چندجمله ای های Kazhdan-Lusztig آموزش دادیم، که من بیشتر عمر ریاضی خود را صرف مطالعه آنها کرده ام.

در رشته من، ما بازنمایی هایی را مطالعه می کنیم که می توانید آنها را مانند مولکول ها در شیمی تصور کنید. به همان شکلی که مولکول ها از اتم ها ساخته می شوند، ترکیب نمایش ها نیز توسط چندجمله ای های کژدان-لوشتیگ اداره می شود.

به طور شگفت انگیزی، رایانه توانست این چند جمله ای های کژدان-لوشتیگ را با دقت باورنکردنی پیش بینی کند. به نظر می‌رسید که مدل به چیزی مربوط می‌شود، اما نمی‌توانستیم بگوییم چه چیزی.

با این حال، با «نگاه کردن به زیر کاپوت» مدل، توانستیم سرنخی پیدا کنیم که ما را به حدس جدیدی رهنمون شد: اینکه چند جمله‌ای کژدان-لوشتیگ را می‌توان از یک شی بسیار ساده‌تر (یک نمودار ریاضی) استخراج کرد.

این حدس راهی را برای حل مسئله ای که بیش از 40 سال است ریاضیدانان را سرگردان کرده است.