14 ژوئن 2023 -توسط دانشگاه کالیفرنیا – سانتا باربارا-اعتبار: دامنه عمومی Pixabay/CC0
در علم، توضیحی با کمترین فرضیات به احتمال زیاد درست است. این اصل که “تیغ اوکام” نامیده می شود، قرن ها نظریه و آزمایش را هدایت کرده است. اما چگونه می توان بین مفاهیم انتزاعی مقایسه کرد؟
در مقاله‌ای جدید، فیلسوفان UC Santa Barbara و UC Irvine در مورد چگونگی سنجش پیچیدگی نظریه‌های علمی با مقایسه ریاضیات زیربنایی آنها بحث می‌کنند. هدف آنها مشخص کردن مقدار ساختار یک نظریه با استفاده از تقارن است – یا جنبه‌هایی از یک شی که در صورت ایجاد تغییرات دیگر یکسان می‌مانند.
پس از بحث های زیاد، نویسندگان در نهایت تردید دارند که تقارن چارچوب مورد نیاز آنها را فراهم کند. با این حال، آنها کشف می کنند که چرا این یک راهنمای عالی برای درک ساختار است. مقاله آنها در مجله Syntheseچاپ می شود.
توماس بارت، نویسنده اصلی، دانشیار دپارتمان فلسفه دانشگاه کالیفرنیا سانتا باربارا، می‌گوید: «تئوری‌های علمی اغلب تفسیر خود را در آستین خود ندارند، بنابراین می‌توان گفت دقیقاً آنچه را که درباره جهان به شما می‌گویند، سخت است، به‌ویژه نظریه‌های مدرن آنها به مرور زمان ریاضی‌تر می‌شوند.» درک میزان ساختار در نظریه‌های مختلف می‌تواند به ما کمک کند تا آنچه را که می‌گویند درک کنیم و حتی دلایلی برای ترجیح یکی بر دیگری به ما بدهد.
ساختار همچنین می تواند به ما کمک کند تشخیص دهیم که چه زمانی دو ایده واقعاً یک نظریه هستند، فقط در لباس های متفاوت. به عنوان مثال، در اوایل قرن بیستم، ورنر هایزنبرگ و اروین شرودینگر دو نظریه جداگانه از مکانیک کوانتومی را فرموله کردند. بارت گفت: “و آنها از نظریه های یکدیگر متنفر بودند.” شرودینگر استدلال می‌کرد که نظریه همکارش فاقد قابلیت تجسم است. در همین حال، هایزنبرگ نظریه شرودینگر را «دافع‌کننده» می‌داند و ادعا می‌کند که «آنچه شرودینگر در مورد تجسم‌پذیری می‌نویسد، مزخرف است».
اما در حالی که این دو مفهوم کاملاً متفاوت به نظر می رسیدند، آنها در واقع پیش بینی های یکسانی را انجام دادند. حدود یک دهه بعد، همکارشان جان فون نویمان نشان داد که فرمول‌ها از نظر ریاضی معادل هستند.
یک روش معمول برای بررسی یک شیء ریاضی، نگاه کردن به تقارن آن است. ایده این است که اجسام متقارن تر ساختار ساده تری دارند. به عنوان مثال، یک دایره – که دارای بی نهایت تقارن چرخشی و بازتابی است – را با یک فلش مقایسه کنید که فقط یک عدد دارد. از این نظر، دایره ساده‌تر از فلش است و به ریاضیات کمتری برای توصیف نیاز دارد.
نویسندگان این روبریک را با استفاده از خودمورفیسم به ریاضیات انتزاعی تر گسترش می دهند. این توابع قسمت های مختلف یک شی را که به نوعی با یکدیگر «یکسان» هستند مقایسه می کنند. اتومورفیسم ها به ما یک اکتشافی برای اندازه گیری ساختار نظریه های مختلف می دهند: نظریه های پیچیده تر، خودمورفیسم کمتری دارند.
در سال 2012، دو فیلسوف راهی برای مقایسه پیچیدگی ساختاری نظریه های مختلف ارائه کردند. یک شی ریاضی X حداقل به اندازه دیگری ساختار دارد، Y، اگر و فقط اگر خودمورفیسم های X زیرمجموعه ای از Y باشند. دوباره دایره را در نظر بگیرید. حالا آن را با دایره ای که به رنگ نیمه قرمز است مقایسه کنید. دایره سایه‌دار اکنون فقط برخی از تقارن‌هایی را دارد که قبلاً داشت، به دلیل ساختار اضافی که به سیستم اضافه شد.
این تلاش خوبی بود، اما بیش از حد به اجسامی که دارای همان نوع تقارن هستند متکی بود. این برای اشکال به خوبی کار می کند، اما برای ریاضیات پیچیده تر از بین می رود.
آیزاک ویلهلم، از دانشگاه ملی سنگاپور، تلاش کرد تا این حساسیت را برطرف کند. ما باید بتوانیم انواع مختلف گروه‌های تقارن را با هم مقایسه کنیم تا زمانی که بتوانیم مطابقتی بین آنها پیدا کنیم که چارچوب درونی هر یک را حفظ کند. به عنوان مثال، برچسب زدن یک طرح، مطابقت بین یک تصویر و یک ساختمان را ایجاد می کند که چینش داخلی ساختمان را حفظ می کند.
این تغییر به ما اجازه می‌دهد تا ساختارهای نظریه‌های ریاضی بسیار متفاوت را با هم مقایسه کنیم، اما پاسخ‌های نادرست را نیز به ما می‌دهد. بارت گفت: «متاسفانه، ویلهلم یک گام از آنجا دور شد. فقط هر مکاتبه ای انجام نمی شود.»
در مقاله اخیر خود، بارت و نویسندگان همکارش، جی بی منچاک و جیمز ودرال، سعی کردند با محدود کردن نوع تقارن ها یا خودمورفیسم هایی که در نظر می گیرند، پیشرفت همکار خود را نجات دهند. شاید تنها مطابقتی که از اشیاء زیرین (مثلاً دایره و فلش) ناشی می شود، نه گروه های تقارن آنها، کوشر باشد.
متأسفانه این تلاش نیز با شکست مواجه شد. در واقع، به نظر می رسد که استفاده از تقارن ها برای مقایسه ساختار ریاضی ممکن است از نظر اصول محکوم به فنا باشد. یک شکل نامتقارن لکه جوهر، را در نظر بگیرید. بیش از یک لکه جوهر در دنیا وجود دارد که همه آنها کاملا نامتقارن و کاملاً متفاوت از یکدیگر هستند. اما، همه آنها دارای یک گروه تقارن هستند – یعنی هیچکدام – بنابراین همه این سیستم ها لکه های جوهر را به عنوان دارای پیچیدگی یکسان طبقه بندی می کنند،
این مثال لکه جوهر نشان می دهد که ما نمی توانیم همه چیز را در مورد پیچیدگی ساختاری یک شی فقط با نگاه کردن به تقارن آن بگوییم. همان طور که بارت توضیح داد، تعداد تقارن هایی که یک جسم می پذیرد به صفر می رسد. اما سقف متناظری برای میزان پیچیدگی یک شی وجود ندارد. این عدم تطابق باعث ایجاد توهم حد بالایی برای پیچیدگی سازه می شود.
و در آنجا نویسندگان موضوع واقعی را آشکار می کنند. مفهوم تقارن برای توصیف ساختار قدرتمند است. با این حال، اطلاعات کافی در مورد یک شی ریاضی – و نظریه علمی که نشان می دهد – برای مقایسه کامل پیچیدگی جمع آوری نمی کند. جستجو برای سیستمی که بتواند این کار را انجام دهد همچنان دانشمندان را مشغول نگه می دارد.
در حالی که تقارن ممکن است راه حلی را که نویسندگان به آن امیدوار بودند ارائه نکند، آنها یک بینش کلیدی را کشف می کنند: تقارن مفاهیمی را که یک شی به طور طبیعی و ارگانیک مجهز به آن است، لمس می کند. به این ترتیب می توان از آنها برای مقایسه ساختار نظریه ها و سیستم های مختلف استفاده کرد. بارت گفت: «این ایده به شما توضیح شهودی می دهد که چرا تقارن ها راهنمای خوبی برای ساختار هستند. نویسندگان می نویسند که این ایده ارزش حفظ کردن دارد، حتی اگر فیلسوفان مجبور شوند برای مقایسه ساختار استفاده از خودمورفیسم ها را کنار بگذارند.
خوشبختانه، خودمورفیسم ها تنها نوع تقارن در ریاضیات نیستند. به عنوان مثال، به جای اینکه فقط به تقارن های جهانی نگاه کنیم، می توانیم به تقارن مناطق محلی نگاه کنیم و آنها را نیز با هم مقایسه کنیم. بارت در حال حاضر در حال بررسی است که این به کجا منجر می شود و در حال کار برای توصیف معنای تعریف یک ساختار بر اساس ساختار دیگر است.
اگرچه وضوح هنوز از ما دور است، این مقاله به فیلسوفان یک هدف می دهد. ما نمی دانیم که در این صعود چالش برانگیز به قله تفاهم چقدر در حال پیشرفت هستیم. مسیر پیش رو در غبار پوشیده شده است و ممکن است حتی قله ای برای رسیدن به آن وجود نداشته باشد. اما تقارن در حین ادامه صعود طناب های ما را محکم می کند
